Les deux vecteurs et sont non nuls (si était nul, 0 serait valeur propre de , ce qui est exclu par l'étude faite dans la question 5). S'ils étaient liés, il existerait donc un scalaire réel non nul tel que .

Alors serait une valeur propre de , donc serait égal à 1 ou -1.

Si , on a et donc , relation qui implique, comme est non nul, que . Ceci est impossible (voir début de question 7).

De même, si , on a et donc , relation qui implique, comme est non nul, que . Ceci est impossible (voir début de question 7).

Les vecteurs et sont donc linéairement indépendants.

Remarque :

Si l'on connaît la théorie du polynôme minimal d'un élément, on aurait aussi pu dire que le polynôme unitaire est le polynôme annulateur de relativement à de plus bas degré car étant sans racine réelle, il n'est divisible par aucun polynôme à coefficients réels de degré 1.

Il en résulte alors immédiatement que et sont linéairement indépendants.