Soit un vecteur propre de relativement à l'unique valeur propre de , qui est . Alors les vecteurs sont linéairement indépendants. En effet soit une combinaison linéaire nulle de ces vecteurs, .

Cette relation implique : et donc en utilisant la relation ,

soit :

et donc on a le système :

qui équivaut à :

Comme et sont linéairement indépendants, la deuxième relation implique :

D'où :

Or il résulte de l'étude faite dans les questions 5, 6 et 7 que est égal à 1 ou -1 et donc que . Alors :

Or est égal à 1 ou à -1. Donc est égal à ou à , qui ne sont nuls ni l'un ni l'autre. Donc est nul, et donc aussi et enfin .

Les trois vecteurs étant linéairement indépendants dans un espace vectoriel de dimension 3, le triplet est une base de .

D'après tout ce qui précède, il vient :

Comme le déterminant de est égal à 1 ou à -1, la matrice associée à dans la base est égale à

avec ou .