1. L'espace considéré est de dimension 3, par conséquent un système de générateurs de cet espace a au moins 3 éléments et par conséquent n est supérieur ou égal à 3.

2. Montrons par l'absurde que les endomorphismes sont linéairement indépendants. On suppose donc qu'il existe trois réels non tous nuls tels que (*).

Cela implique en particulier que .

Or .

Donc la relation (*) implique que :

Donc l'hypothèse linéairement dépendants implique linéairement dépendants.

Nous allons montrer que la propriété (**) est contraire aux hypothèses.

Deux cas sont possibles : est nul ou n'est pas nul.

Nous allons étudier ces deux cas.

Premier cas :

Alors le vecteur peut être exprimé comme combinaison linéaire de et c'est à dire qu'il existe des réels et tels que .

Une récurrence immédiate prouve que pour tout entier supérieur ou égal à 3 et inférieur à , est combinaison linéaire des deux vecteurs et .

Détail de la démonstration par récurrence

Comme les vecteurs engendrent , on en déduit que les vecteurs et engendrent ce qui est en contradiction avec le fait que est de dimension 3.

Deuxième cas : .

Alors la relation devient , avec au moins un des deux coefficients non nuls. En fait ne peut pas être nul car sinon la relation deviendrait et serait aussi nul (le vecteur est évidemment non nul sinon tous les vecteurs le seraient aussi et l'espace serait réduit au vecteur nul. Or c'est impossible puisque c'est un espace de dimension 3).

Il en résulte alors la relation , d'où on déduit, par une méthode analogue à celle utilisée dans le cas précédent, que le vecteur engendre ce qui est évidemment absurde puisque de dimension 3.

Donc les vecteurs sont linéairement indépendants, et par conséquent d'après le début de l'étude, aussi.