1. Soit un élément de Fx, alors il existe des scalaires tels que . On a .

Donc appartient à Fx si et seulement si appartient à Fx.

Or est de la forme :

Comme , il vient :

, donc .

Par conséquent, pour tout élément de appartient à Fx, donc Fx est stable par .

2. Par définition du polynôme minimal, pour tout vecteur on a . Comme Fx est un sous espace stable par , on obtient en particulier pour tout vecteur :

.

Ceci prouve que est un polynôme annulateur de ux, il est donc divisible par le polynôme minimal de ux : divise le polynôme .