1. Soit . Comme on a :

.

et . Ceci montre que .

Pour montrer que l'inclusion est stricte, on construit grâce au lemme des noyaux, un supplémentaire de .

Le polynôme divise , donc il existe un polynôme tel que

Comme ne divise pas , ne divise pas et, étant irréductible, les polynômes et sont premiers entre eux.

Comme , d'après le lemme des noyaux on a

Supposons et notons

Soit et un vecteur de . Comme les polynômes et commutent, on a :

et par conséquent . Ceci prouve que est un polynôme annulateur de . Or les polynômes annulateurs de sont les multiples de son polynôme minimal et ceci n'est pas le cas de . Par conséquent l'hypothèse que nous avons faite, , est fausse, donc

.

2. On a , donc et pour tout entier l

.

Comme , pour tout on a :

,

donc est un polynôme annulateur de ux. Le polynôme étant irréductible et unitaire, il existe un entier , tel que :

.

On a donc

,

et n'est pas un polynôme annulateur de ux. Par conséquent n'est pas un diviseur de . Comme est un polynôme irréductible on a , d'où et .