1. Comme , où les polynômes sont premiers entre eux deux à deux, on a d'après le lemme des noyaux :

et les sous-espaces sont stables par u ainsi que par tout endomorphisme de la forme .

On a posé .

la somme étant directe, si et seulement si pour tout on a . Or par hypothèse , donc .

Soit tel que . On a :

Par définition . Comme l'endomorphisme s'annule sur les éléments d'une famille génératrice de , il est nul sur . Ceci prouve que le polynôme est divisible par le polynôme minimal de . Par choix des xi, on a . Par conséquent le polynôme divise .

2. Le polynôme est un polynôme annulateur de ua, on a donc . Or , donc est divisible par les polynômes . Comme les polynômes sont premiers entre eux deux à deux, leur produit, qui est le polynôme , divise . Or on a montré dans la question 1.b que divise . Comme ces polynômes sont unitaires, ils sont égaux :

3. Nous avons que est une famille génératrice de Fa.

Montrons que la famille est libre. Soient des scalaires tels que :

En notant , on a , donc d'après la question 3.a, le polynôme divise . Comme le degré de est , cela prouve que est le polynôme nul et la famille est libre.

La famille est une famille libre et génératrice de Fa, donc est une base de Fa.