Il s'agit ici d'une série à termes complexes ; on étudie donc la série des modules. On a :

Plusieurs méthodes sont possibles : on peut par exemple utiliser la règle de d'Alembert, on a :

On distingue donc les cas suivants :

\alpha<\frac1{\sqrt{2}}, on a alors la série est donc convergente ;

\alpha>\frac1{\sqrt{2}}, on a alors la série est divergente ;

\alpha=\frac1{\sqrt{2}}, le critère de d'Alembert ne permet pas de conclure.

Le terme général s'écrit on est dans un cas classique d'application du théorème d'Abel (voir cours "Critères de semi-convergence", la série est semi-convergente.