Compte tenu de la forme du terme général, la première étape est de l'écrire sous forme exponentielle soit :

Quand tend vers l'infini, on a : d'où

Ainsi l'exposant se présente sous forme du produit d'un terme qui tend vers par un terme qui tend vers l'infini. Il y a donc une indétermination qu'un développement limité permet de résoudre. On a :

avec d'où

On en déduit que a pour limite et donc que le terme général de la série ne tend pas vers La série est divergente.

Remarque :

Il aurait aussi été logique de penser, compte tenu de la forme du terme général, à utiliser la règle de Cauchy ; en fait elle ne permet pas de conclure. On a en effet d'après le calcul précédent :

D'où : et