Convergence de la série

On a, pour tout entier la série de terme général est donc absolument convergente pour

Calcul de la somme

La méthode, suggérée par le texte, et qui consiste à associer à l'expression est classique et doit venir à l'esprit de façon quasi-automatique.

On a, en effet,

Il s'agit d'une expression de la forme, soit

En multipliant numérateur et dénominateur par on obtient

et, en prenant la partie réelle de cette somme,

D'où

Donc la série considérée est semi-convergente d'après le théorème des séries alternées.