La série des valeurs absolues est la série harmonique qui est divergente, la série harmonique alternée n'est pas absolument convergente mais elle satisfait de façon évidente au critère des séries alternées.

Calcul de la somme de la série harmonique alternée

Soit la fonction définie sur par La fonction est de classe sur et (preuve par récurrence).

Soit On peut appliquer la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre Il existe tel que

c'est-à-dire avec

Or on en déduit En passant à la limite quand tend vers on obtient l'égalité :