On écrit, pour , avec , est donc la somme partielle d'ordre de la série harmonique. On rappelle que . On distingue les cas suivants :

Pour tout entier , on a pour appartenant à l'intervalle , .

On en déduit les inégalités entre intégrales : .

En additionnant membre à membre ces inégalités pour , on obtient :

soit .

On a donc pour tout entier , .

On a , d'où , soit encore

ou .

Cet encadrement montre que la série de terme général est de même nature que la série de terme général ,

elle est donc convergente si et seulement si soit .

On a donc : .

On a , d'où , soit encore, compte tenu de la croissance de la fonction exponentielle

ou .

Cet encadrement montre que la série de terme général est de même nature que la série de terme général .

Elle est donc convergente si et seulement si soit .