On note, pour tout entier , avec . On a .

Convergence de la série

On a . La série est convergente si et seulement si, les séries

et sont convergentes. Ainsi la série à termes positifs

est convergente, on a donc et, à partir d'un certain rang ,

. Donc : . Par application du théorème de comparaison,

la série est donc convergente par application du théorème de comparaison.

Convergence de la série

La série étant convergente, l'égalité entraîne alors en

particulier la convergence de la série des parties réelles et donc de la série .

Conclusion

Cela implique que la série est convergente.

La recherche d'un exemple où la série est divergente, alors que les séries et

sont convergentes, peut s'orienter en prenant pour série la série harmonique, on peut

prendre par exemple d'où , plus précisément

avec .

Les séries et sont convergentes, d'après le théorème d'Abel. La série est la série harmonique donc divergente.