En additionnant, membre à membre les inégalités classiques, , ,

on obtient , d'où ,

et donc, compte tenu du prolongement des inégalités, .

En fait une valeur approchée de la constante d'Euler est 0,57721, on ignore la nature arithmétique de ce nombre : est-il rationnel, algébrique, transcendant ? Patience il a fallu plus de trois siècles pour venir à bout du théorème de Fermat !