1. Définissons la suite par :

    s'il existe un entier m tel que , ;

    si pour tout entier , .

    Désignons par et les suites des sommes partielles associées aux séries de termes généraux respectifs et .

    Soit . Il existe un unique entier naturel tel que : . Alors :

    .

    D'où : .

    La suite étant croissante (car ) et majorée, elle est donc convergente.

    On a cependant : . Par conséquent, la série de terme général diverge.

  2. On prend une série convergente. Les termes sont alors définis par et si n'est pas une puissance de 2, on prend par exemple , le terme général ne tend pas vers 0 et la série de terme général est divergente.