Comme la fonction est positive, l'intégrale (impropre) est de même nature que la série avec .

Soit . Pour tout vérifiant , on a

.

Remarque :

La série étant à termes positifs, on cherche à majorer le terme général par celui d'une série à termes positifs convergente. Nous nous intéressons donc à l'inégalité de droite.

On en déduit, pour tout :

(en faisant le changement de variable ).

Pour réel positif on étudie alors :

On a envie de calculer cette intégrale avec le changement de variable , mais il y a un problème en .

On résout ce problème en restreignant l'intervalle d'intégration grâce à la relation :

.

On peut alors faire le changement de variable qui donne

, ,

d'où

Pour être parfaitement rigoureux, on peut prendre l'intégrale sur et passer à la limite quand tend vers .

On a alors, pour tout :

Donc est majoré par le terme général d'une série convergente et l'intégrale est convergente.