Exercice 3

Durée : 5 mn

Note maximale : 5

Question

Étudiez la nature de la série de terme général \(u_n=\frac{1}{n^{1+\frac1n}}(n\geq 1)\)

Solution

  • Pour \(n\geq 1\), on a : \(nu_n=\frac{1}{n^{\frac1n}}\), or \(n^{\frac1n}=e^{\frac{\ln n}{n}}\), d'où \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}}n^{\frac1n}=1\) et \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}}nu_n=1\).

    Il existe donc un rang \(N\) tel que \(\forall n>N, nu_n\geq \frac12\) soit \(u_n\geq \frac{1}{2n}\).

  • La série est donc divergente.