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Test C : Détermination de développements en série entière
Le test comporte 3 questions :
Question 1
Question 2
Question 3
La durée indicative du test est de 33 minutes.
Commencer
Question 1

Montrer que la fonction admet un développement en série entière et le déterminer.

Préciser le rayon de convergence de la série entière obtenue.

Question 2

Montrer que la fonction admet un développement en série entière et le déterminer.

Préciser le rayon de convergence de la série entière obtenue.

Question 3

On considère la fonction .

A. Montrer que la fonction est développable en série entière dans le disque unité. (Durée indicative : 4 mn)

B. Montrer que la fonction : est solution de l'équation différentielle : . (Durée indicative : 8 mn)

C. La fonction étant paire, on pose : , . Déterminer la relation de récurrence vérifiée par la suite . (Pour déterminer cette suite il sera utile de poser successivement : et ).

En déduire le développement en série entière et le rayon de convergence de la série entière obtenue. (Durée indicative : 9 mn)

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Question 1

On écrit, pour tout différent de 1 : et pour , . D'où le développement en série entière : .

Le rayon de convergence de la série entière est 1, tandis que la fonction est indéfiniment dérivable dans .

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Question 2

On a : . La fonction est donc définie sur l'intervalle et le rayon de convergence de la série entière est donc au plus .

On écrit : , . On en déduit, à partir du développement connu de la fonction :

, et , .

Les deux séries entières ayant des rayons de convergence différents, le rayon de convergence de la somme est égal au plus petit des deux, soit 1/2.

On a donc finalement : , .

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Question 3

A. La fonction arctan étant développable en série entière dans le disque unité, la fonction : est développable en série entière dans ce disque et on peut obtenir son développement en série entière en faisant le produit du développement en série entière de la fonction arctan par lui-même. Le rayon de convergence est donc au moins 1.

B. En notant la fonction , on a, en dérivant une première fois : , . D'où .

En dérivant les deux membres de cette égalité sur l'intervalle , on obtient : . La fonction est donc solution de l'équation différentielle

.

Plus précisément la fonction est la solution de cette équation différentielle qui vérifie : et .

On remarque (cela sert à la question suivante) que .

C. D'après la question précédente et . Puis, en identifiant les termes de degré dans les deux membres de l'équation différentielle on obtient :

et (R) , .

Pour étudier la relation de récurrence (R), on pose . On obtient la relation de récurrence (R') , .

La relation (R') s'écrit encore , .

En notant , on obtient (R'') , avec .

On en déduit, par une récurrence immédiate : .

On a donc .

Et finalement .

Le rayon de convergence de la série entière est 1. En effet, pour , on a : ,

on en déduit .

La série entière n'est donc pas absolument convergente pour , et le rayon de convergence ne peut être strictement supérieur à 1. Ce dernier est donc égal à 1.

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Bilan
Nombre de questions :3
Score obtenu :/20
Seuil critique :14
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :33 min.
Conclusion :
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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