Les fonctions et sont développables en série entière et leurs rayons de convergence sont respectivement et 1. Le produit de ces deux fonctions est donc développable en série entière et le rayon de convergence de la série entière correspondante est supérieur ou égal à 1. On note cette série entière. On a donc, pour : .

D'où en identifiant les deux développements,

, et .

On en déduit donc, par une récurrence immédiate : .

On remarque que ne tend pas vers 0 quand tend vers l'infini ( ) : le rayon de convergence est au plus 1. Compte tenu de l'inégalité montrée au début, le rayon est exactement 1.