On cherche une solution sous la forme de la somme d'une série entière, . On a alors dans le disque de convergence de la série entière : et .

En reportant ces expressions dans l'équation ( ) et en identifiant on obtient : .

Les coefficients d'ordre impair sont donc nuls et on a :

,

,

.

En multipliant membre à membre les égalités ci-dessus, on obtient :

.

On obtient donc les séries entières , dont le rayon de convergence est infini car,

si .

Les fonctions sont donc solutions de l'équation différentielle , en particulier celle qui prend la valeur 1 pour , .