La série entière est le produit des séries entières et . Ces deux séries entières ayant comme rayon de convergence 1, le rayon de la série entière vérifie .

Par ailleurs, on a et . On en déduit que, pour tout appartenant au disque unité ouvert, on a

.

Donc si appartient au disque , la série est convergente et donc .

On en déduit .

Calcul de la somme

Dans le disque unité ouvert, on a : .