On étudie, pour fixé non nul, la série de terme général . On peut alors appliquer la règle de d'Alembert. On a en effet : .

On en déduit : . Le rayon de convergence de la série entière est donc infini.

On pose, pour tout réel, . On peut dériver terme à terme. On obtient successivement : , , .

La fonction est solution de l'équation différentielle et homogène à coefficients constants du troisième ordre . Plus précisément, c'est l'unique solution de cette équation différentielle, qui vérifie les conditions initiales : , .

On cherche des solutions sous la forme , l'équation caractéristique est . Les racines de l'équation caractéristique sont les nombres . La solution générale, sous forme complexe, est . Les conditions , imposent : , , . On obtient comme solution pour le triplet .

Sous forme complexe, la solution s'écrit : , et finalement sous forme réelle : .