Pour calculer le développement en série entière de , on décompose la fraction rationnelle en éléments simples, c'est-à-dire qu'on l'écrit sous la forme .

Le calcul est immédiat :

.

Remarquant que l'on a

On a les égalités :

, et , .

On a : , .

La série entière est la somme de deux séries entières de rayon de convergence respectifs et distincts.

On a donc : .

Remarque :

Le procédé utilisé ici est un procédé classique (dit des séries génératrices) : pour étudier une suite récurrente, on lui associe la série entière dont les coefficients sont les termes de la suite. Cela permet d'introduire des outils analytiques dans l'étude d'une suite définie arithmétiquement (ici la suite de Fibonacci) ou probabilistiquement.