Soit le rayon de convergence non nul de la série entière . Posons, pour réel vérifiant : .

La série entière a même rayon de convergence que la série entière , série dérivée de la série entière .

La fonction est donc définie et de classe sur l'intervalle .

Quand tend vers 0, on a : , d'où

.

Donc, pour assez petit, on a : .

Soit un réel strictement positif vérifiant cette inégalité. La série entière vérifie les hypothèses de la question 1.

La fonction , définie par est définie dans le disque unité et injective dans ce disque et la fonction est injective dans le disque .