L'égalité s'écrit encore .

Donc si et appartiennent au disque , on a et l'égalité implique .

La fonction est donc injective dans le disque .

D'autre part, on a, pour réel, .

Ainsi, pour tout , deux points et ont même image par la fonction .

Le disque est donc le plus grand disque ouvert dans lequel la fonction est injective.