Dans le disque unité ouvert , on peut considérer la fonction prolongée par en 0 comme le produit des fonctions et . On a donc : .

Les coefficients du développement en série entière de la fonction sont des expressions polynomiales en . On pose : .

On a donc d'une part (1),

et d'autre part (2).

En identifiant dans (1) et (2) les termes en ,

on obtient l'égalité : (3).

On a : . Donc est un polynôme de degré 1. En supposant que pour , est un polynôme de degré , l'égalité précédente (3) écrite au rang montre que et donc que est un polynôme de degré .