Considérons la fonction ; on a : .

On en déduit : , .

En identifiant les termes en dans les expressions du développement de la fonction , on obtient :

, , .

On a alors, pour tout entier naturel n :

(4)

Par ailleurs, par définition , de sorte que :

.

En additionnant les égalités membre à membre dans (4), on obtient : , , .

Soit . Soit un polynôme vérifiant :

, . Alors, le polynôme admet une

infinité de racines et est donc le polynôme nul. Il existe donc un polynôme unique, de degré , vérifiant : , .

Un petit calcul donne :

,

,

,

.