Mathématiques
Précédent
Problème 4 (difficile)
Question n°1

On considère une série entière de rayon de convergence 1.

On pose : . On se propose d'étudier, sous certaines conditions, des propriétés de la fonction sur l'intervalle , et plus précisément au voisinage de 1.

1. On suppose que la série est convergente, soit sa somme. Montrer qu'on a : .

Question n°2

2. Montrer que les hypothèses et entraînent que la série est convergente et a pour somme . Montrer que cette conclusion est fausse si l'on ne suppose pas .

Question n°3

3. On suppose maintenant que tous les coefficients sont strictement positifs et que la série est divergente.

a. Montrer qu'on a alors : .

b. Montrer que, si est une suite de réels strictement positifs telle que quand tend vers , alors la série entière a aussi comme rayon de convergence 1.

On pose, pour tout appartenant à l'intervalle , . Montrer que quand tend vers 1.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)