La stratégie est de montrer que les hypothèses entraînent la convergence uniforme de la série entière sur l'intervalle , d'où la continuité de sa somme sur cet intervalle.

Il s'agit en fait de démontrer, dans un cas particulier, celui des séries entières, le critère d'Abel uniforme relatif aux séries de fonctions. La démonstration de ce critère repose sur l'application du critère de Cauchy uniforme relatif aux séries de fonctions.

On cherche donc à majorer l'expression : pour ,

.

On pose : ; on a donc : .

On va utiliser la “transformation d'Abel”, c'est-à-dire qu'à partir de l'expression

,

on écrit : .

Pour tout , la suite est décroissante, et on a : , , .

On en déduit : .

Soit . De l'égalité on déduit que : , , .

Donc : , .

Cette majoration est indépendante de sur l'intervalle . On a donc montré :

, , , , , .

La série entière est donc uniformément convergente sur l'intervalle et la fonction est continue sur . On a donc .