Pour tout n de , étudions la fonction définie sur par

On a, pour tout u réel, donc, pour tout x réel, donc, pour tout x réel,

est continue et dérivable sur et .

est donc strictement croissante sur .

. .

. .

Le problème pour la convergence uniforme de ( ) apparaît donc lorsque x est au voisinage de . L'idée est alors de regarder ce qui se passe sur ] , a] (pour tout a réel).

. Ceci prouve que

ce qui prouve que la suite de fonctions ( ) converge uniformément sur ] , a] vers la fonction constante

La suite de fonctions ( ) converge uniformément sur ] , a] vers la fonction constante