Convergence simple

Montrons que la suite de fonctions converge vers la fonction nulle :

  1. Pour x = 0 : donc .

  2. Pour x > 0 :

Il suffit de prendre

La suite ( ) converge simplement vers la fonction nulle sur [ 0 , [.

Convergence uniforme sur 

D'après les courbes représentatives des , pour tout n,

Cette quantité ne tend pas vers 0 quand n tend vers , donc...

La suite ( ) ne converge pas uniformément sur .

Convergence uniforme sur des sous-ensembles de .

Pour tout a > 0, posons Alors et .

  1. Sur tout intervalle [0, a] : pour n , .La suite ( ) ne converge pas uniformément sur [0, a].

  2. Sur tout intervalle I du type [a, b] ou [a, [ avec b > a > 0 : pour n , sur I.

Donc, pour n , c'est-à-dire

La suite ( ) converge uniformément vers la fonction nulle sur toutintervalle [ a , b ] ou [a , [ avec b > a > 0.