Convergence simple

  1. Si , pour , donc :  ;

  2. Pour , , donc .

La suite ( ) converge simplement vers la fonction ainsi définie :

Convergence uniforme sur

Si la suite ( ) convergeait uniformément sur , ce serait vers décrite dans le paragraphe précédent.

Or toutes les fonctions sont continues et la limite simple ne l'est pas sur ni sur tout intervalle contenant 0, puisque n'est pas continue en 0.

La suite ( ) ne converge pas uniformément sur ni sur tout intervalle de type , avec .

Convergence uniforme sur certains sous-ensembles de

  1. Soit I un intervalle du type ou avec .

    Posons , alors et .

    Pour et pour , sur ou .

    Donc, pour , , c'est-à-dire : .

    La suite ( )converge uniformément vers la fonction nulle sur tout intervalle ou avec .

  2. De même, par symétrie

    La suite ( ) converge uniformément vers la fonction nulle sur tout intervalle ou avec .