Traduisons le fait que converge uniformément vers sur et que

Soit un réel strictement positif arbitrairement fixé.

Convergence uniforme sur

Pour cet , il existe tel que, pour tout et tout de , on a : .

Convergence simple en 0

Pour cet , il existe tel que, pour tout , on a : .

Convergence simple en 1

Pour cet , il existe tel que, pour tout , on a : .

Posons alors  ; on obtient alors, pour tout et tout  :

ce qui équivaut à dire : .

Autrement dit, nous venons de montrer que :  ;

c'est-à-dire que nous avons démontré que la suite ( ) converge uniformément sur vers .