Traduisons le fait que est continue en 1 : soit un réel strictement positif arbitrairement fixé ; pour cet , il existe un réel strictement positif tel que, pour tout de vérifiant , on a : .

On voir d'ailleurs que l'on peut imposer .

D'autre part, par hypothèse, .

Autrement dit, pour le que nous avons fixé, il existe tel que : .

Or, on remarque que, sur , puisque .

On obtient donc : , .

Utilisons maintenant le fait que est continue sur : puisque est continue sur qui est un intervalle fermé borné, alors est bornée sur cet intervalle (et elle atteint ses bornes) ; autrement dit, il existe réel positif tel que, pour tout de , on a : .

Plaçons-nous sur l'intervalle . Pour tout de cet intervalle, on a :

Or, , donc  ; donc, il existe tel que, pour tout .

Récapitulons : 

On obtient donc, puisque  :

et on a bien montré :

Ce qui signifie bien que la suite ( ) converge uniformément vers sur .

La suite ( ) converge uniformément vers sur .