Sur [a, [ (a > 0)

Cela montre que, pour n assez grand, e et cette borne supérieure tend vers lorsque n tend vers . Ceci montre que la convergence de la suite ( .) vers n'est pas uniforme sur [b, a].

La suite ( ) converge simplement mais pas uniformément vers sur [b, a] .

Calculons maintenant

A t [b,a], . D 'où :

Calculons maintenant .

D'où : .

On obtient donc :

alors que la convergence de la suite ( ) vers sur [b, a] n'est pas uniforme.

On a donc pu intervertir les signes de limite et d'intégration alors que la convergence n'est pas uniforme. Ceci prouve bien que :

La convergence uniforme est une condition suffisante d'interversion des signes de limite et d'intégration, mais cette condition n'est pas nécessaire.