f est continue sur [a, b], donc f est uniformément continue sur [a, b] :

Soit n .

Appliquons ce résultat en fixant . Soit le réel correspondant, on a ainsi :

(1)

Il existe un entier p tel que .

Soit . p Introduisons la subdivision de [a, b] définie par :

, , ... .

Nous considérerons les intervalles , , . . . , .

Définissons la suite de fonctions affines par morceaux ( ) sur [a, b] par :

sur chaque intervalle est la fonction affine qui prend les valeurs

et  aux points et .

est donc bien une fonction affine par morceaux.

Montrons que la suite ( ) converge uniformément vers f sur [a, b].

, d'après (1), on a donc : pour (2)

Soit x [a, b]. {1,...,p} tel que x .

Nous pouvons mettre également f (x) sous la forme :

D'où 

Donc

Comme x et .

De plus, on a d'après (2) par continuité uniforme :  et  .

On en déduit que

La suite ( ) tend vers 0. La suite ( ) converge donc uniformément vers f sur l'intervalle [a, b].

Commentaires : La fonction f peut être dérivable ou même de classe sur [a, b]. Les fonctions affines par morceaux sont continues mais souvent non dérivables, et la suite ( ) converge néanmoins uniformément vers f .