Montrons que la suite ( ) converge uniformément vers f sur [0, 1].

Soit > 0. f étant continue sur [0, 1], f est uniformément continue sur [0, 1] et on peut donc trouver un réel > 0, tel que :

(3)

En notant que

on peut alors écrire .

À partir du nombre défini précédemment, nous définissons l'ensemble d'indice comme en (3).

Nous allons séparer cette somme en distinguant les indices k qui sont dans des autres :

D'après 3, la première somme se majore par .

Cette suite converge vers 0, il existe donc un rang n0 à partir duquel :  0 < < .

Pour la 2e somme, k , donc , donc par continuité uniforme sur [0, 1], on a

Récapitulons.

La suite ( ) converge donc uniformément vers f sur [0, 1].