Soit f continue sur [a, b].

Considérons la bijection de [a, b] sur [0, 1] :

Sa bijection réciproque est :

Posons g = f , on a immédiatement f = g .

étant continue, g est bien une fonction continue définie sur [0, 1].

D'après la question précédente, g est limite uniforme sur [0, 1] d'une suite de fonctions polynômes :

Posons .

On remarque que est encore une fonction polynôme, définie cette fois sur [a, b].

Soit

puisque est une bijection de [a, b] sur [0, 1].

La suite ( ) converge vers 0 puisque la suite ( ) converge uniformément vers g sur [0, 1].

La suite ( ) est donc une suite de fonctions polynômes convergeant uniformément vers f sur [a, b].