1. Pour tout , le terme est positif, puisque .

    Pour tout , la série numérique a son terme général qui décroît, puisque la fonction logarithme est strictement croissante et la suite est décroissante.

    , donc ~.

    Pour tout ,

    Donc, la suite de fonctions converge uniformément vers sur .

    D'après le critère de convergence uniforme de certaines séries alternées, on conclut : La série de fonctions converge uniformément sur .

  2. En revanche, il n'y a pas convergence normale sur car :  ; et la série harmonique n'est pas convergente.