En remarquant que  : .

Les sommes partielles convergent vers 1 quand tend vers pour non nul fixé dans .

(voir exercice 7).

  1. La série converge sur vers une fonction discontinue en 0 : si et .

    Donc la série ne converge pas uniformément sur , puisque les fonctions sont continues sur mais pas leur somme .

    Il faut donc étudier la convergence uniforme sur des intervalles de ne contenant pas 0.

  2. Sur ,  :

    La série converge uniformément sur si et seulement si la suite des restes converge uniformément vers sur pour .

    ,

    D'où .

Ainsi, la série de fonctions ne converge pas uniformément sur vers la fonction mais elle converge uniformément sur tout intervalle avec .