Nous avons vu dans l'exercice 9 que cette série de fonctions est convergente sur donc a fortiori sur .

Déterminons la somme de la série .

, avec et .

Les séries et sont des séries géométriques convergentes sur , et de somme respective : et .

D'où .

Si on peut utiliser le théorème de primitivation de la somme d'une séries de fonctions, nous pourrons calculer la somme de la série initiale.

Vérifions les hypothèses de ce théorème sur la série dérivée ; on posera .

  1. Les fonctions sont des fonctions polynômes donc continues sur tout segment ;

  2. La série de fonctions est normalement convergente, donc uniformément convergente sur tout segment .

    En effet,  ;

    Or, puisque , il existe tel que, pour tout , .

    Donc, pour , .

    Il existe une série numérique à termes positifs convergente (série géométrique de raison plus petite que 1) qui majore à partir d'un certain rang.

    On peut donc conclure à la convergence normale annoncée.

En conclusion, les hypothèses du théorème de primitivation étant réunies, on déduit :  ;

soit encore .

On vient ici de montrer que la série converge sur vers la fonction .

On a prouvé dans l'exercice 9 qu'elle convergeait simplement en 1 et que .

La convergence de cette série de fonctions ne peut donc être uniforme sur puisque .

La série ne converge pas uniformément sur .