Pour tout , l'application est impaire et de classe de dans . Elle est la dérivée de de dans .

    • Pour , est une série géométrique de raison .

      Elle converge donc vers .

    • Pour , la série diverge puisque son terme général vaut 1.

    En conséquence, converge simplement sur et sa somme est donnée par : .

    • Pour fixé, au voisinage de . Donc, la série numérique (à termes positifs) converge.

    • Pour , , donc la série numérique converge.

    La série d'applications converge donc simplement sur .

    Etudions sa somme  :

    1. Soit et .

      Pour fixé, ,

      donc la restriction de à est positive et décroissante.

      Les fonctions étant impaires, or on en déduit : .

      Comme converge, il en résulte que converge normalement et donc uniformément sur .

    2. Comme converge simplement sur (puisqu'elle converge sur , voir question 1), on peut affirmer d'après le théorème de dérivation de la somme d'une série, que la restriction de à est la dérivée de la restriction de à .

      En particulier : .

    3. Tout appartenant à un , (4) vaut pour tout .

      D'autre part, pour tout , donc .

Remarque : On constate que

est discontinue en 0 et comme les sont continues en 0, la convergence de sur n'est pas uniforme.

La fonction x \longmapsto f(x) = \underset{n \in \mathbb{N}}{\sum} nxe^{-nx^{2}} vaut : .