Exercice 24
Partie
Pour tout entier \(n\) et tout réel \(x \in ]-1, 1[\), on pose \(f_{n}(x) = (- 1)^{n} x^{n}\).
Question
Soit \(a \in ]0, 1[\). Montrer que la série de fonctions \(\left( \underset{n \in \mathbb{N}}{\sum}~f_{n} \right)\) converge normalement sur \([-a, a]\).
Aide simple
Utiliser les séries géométriques.
Penser au théorème d'intégration de la somme d'une série.
Solution détaillée
Pour tout \(x \in [-a, a]\), \(0 \leq \left| f_{n}(x) \right| \leq a^{n}\).
Le majorant \(a\) est indépendant de \(x\) et la série numérique \(\underset{n \in \mathbb{N}}{\sum}~a^{n}\) est une série géométrique de raison plus petite que 1, donc convergente.
La série de fonctions \(\left( \underset{n \in \mathbb{N}}{\sum} f_{n} \right)\) converge normalement sur tout segment \([-a, a]\) inclus dans \(]- 1, 1[\).
La série \(\left( \underset{n \in \mathbb{N}}{\sum} (-1)^{n} x^{n} \right)\) converge normalement sur tout segment \([-a, a]\) inclus dans \(]-1, 1[\).
Question
Montrer que, pour tout \(x\) de \(]-1, 1[\), \(\ln{(1 + x)} = \underset{n = 0}{\overset{+\infty}{\sum}} (-1)^{n}~\frac{x^{n+1}}{n + 1}\) et \(\ln{(1 - x)} = - \underset{n = 0}{\overset{+\infty}{\sum}}~\frac{x^{n+1}}{n + 1}\).
Aide simple
Utiliser les séries géométriques.
Penser au théorème d'intégration de la somme d'une série.
Solution détaillée
Nous sommes dans les hypothèses du théorème de primitivation de la somme d'une série.
Soit (\(f_{n}\)) une suite de fonctions continues sur \(I\) et \(a\), \(b\) \(\in I\) avec \(a < b\).
On suppose que \(\Big( \sum f_{n} \Big)\) converge uniformément vers \(S\) sur \([a, b]\).
Alors, la série \(\Big( \sum F_{n} \Big)\), définie par \(F_{n}(x) = \underset{a}{\overset{x}{\int}}~~f_{n}(t)~\textrm{dt}\), converge uniformément sur \([a, b]\) vers \(\overset{x}{\underset{a}{\int}}~\left( \overset{+ \infty}{\underset{n = 0}{\sum}}~f_{n}(t) \right) \textrm{dt} = \overset{+\infty}{\underset{n = 0}{\sum}}\left( \overset{x}{\underset{a}{\int}}~f_{n}(t)~\textrm{dt} \right)\).
En effet les (\(f_{n}\)) sont des fonctions continues sur \(I =]-1, 1[\), la série converge uniformément sur tout \([-a, a]\), \(0 < a < 1\), donc sur tout \([0, x]\), \(0 < x < 1\).
\(\ln{(1 + x)} = \overset{+\infty}{\underset{n = 0}{\sum}}~(-1)^{n} \frac{x^{n+1}}{n+1}\) et \(\ln{(1 - x)} = - \overset{+\infty}{\underset{n = 0}{\sum}}~\frac{x^{n+1}}{n + 1}\).
Question
Que dire des deux fonctions et des deux séries précédentes lorsque \(x\) n'est pas dans \(]-1, 1[\) ?
Aide simple
Utiliser les séries géométriques.
Penser au théorème d'intégration de la somme d'une série.
Solution détaillée
La fonction \(x \longmapsto \ln{(1 + x)}\) est définie sur \(]-1, +\infty[\).
La fonction \(x \longmapsto \ln{(1 - x)}\) est définie sur \(]-\infty, 1[\).
En revanche, pour \(|x| > 1\), les séries ne sont pas convergentes car leur terme général ne tend pas vers 0.
Pour \(x = -1\), la série \(\left( - \underset{n \geq 0}{\sum}~\frac{x^{n+1}}{n+1} \right)\) est convergente (série harmonique alternée).
Pour \(x = 1\), la série \(\left( - \underset{n \geq 0}{\sum}~(-1)^{n}~\frac{x^{n+1}}{n+1} \right)\) est convergente (série harmonique alternée).
Question
Montrer que, pour tout \(x\) de \(]0, 2]\), \(\ln{(x)} = \overset{+\infty}{\underset{n=0}{\sum}}~(-1)^{n}~\frac{(x-1)^{n+1}}{n+1}\)
Aide simple
Utiliser les séries géométriques.
Penser au théorème d'intégration de la somme d'une série.
Solution détaillée
Ce dernier résultat montre que, pour tout \(x\) de \(]-1, 1]\), \(\ln{(1 + x)} = \overset{+\infty}{\underset{n = 0}{\sum}}~(-1)^{n}~\frac{x^{n+1}}{n+1}\)
On pose \(u = 1 + x\); alors, \(u \in ]0, 2]\), \(x = u - 1\), et on a : \(\ln{(u)} = \overset{+\infty}{\underset{n = 0}{\sum}}~(-1)^{n}~\frac{(u - 1)^{n+1}}{n + 1}\)