1. Utilisons la division suivant les puissances croissantes du polynôme par le polynôme :

    Donc,

    Considérons la série de fonctions .

    Nous avons affaire à une série géométrique de raison .

    Elle est donc uniformément convergente pour .

    Pour , le terme général ne tend pas vers 0 ; la série diverge.

    La série converge uniformément sur .

    Sa somme est égale à .

    La série converge donc uniformément sur tout segment inclus dans et, d'après le théorème d'intégration de la somme d'une série uniformément convergente sur , on obtient :

    .

  2. Pour calculer , revenons à l'expression (5) : .

    Il vient alors :

    En intégrant par parties , on trouve ,

    et (6) devient :

    On peut remarquer qu'on peut prolonger par continuité sur la fonction , si on adopte les valeurs de continuité pour et pour (car ).

    Notons alors (fonction continue sur un segment) ; il en résulte .

    La limite étant nulle à l'infini, on peut passer à la limite : (intégration par parties dans l'intégrale).

    Ainsi, .