D'après le théorème local de convergence uniforme et continuité :

"Soit ( ) une suite d'applications continues d'un intervalle à valeurs dans ou ; si converge uniformément vers sur tout intervalle fermé borné de , alors la somme de la série est continue sur ."

Les fonctions sont continues sur . La série converge normalement donc uniformément sur tout intervalle , , la somme de la série est donc continue sur .

Par parité, on a donc également la continuité de sur .

La somme de la série est continue sur .