Pour étudier la dérivabilité de sur , il suffit d'appliquer la forme locale du théorème de dérivabilité :

"Soit ( ) une suite d'applications d'un intervalle dans ou . On suppose :

  1. il existe dans tel que la série numérique soit convergente;

  2. pour tout et pour tout fermé borné inclus dans , est dérivable sur et la série converge uniformément sur .

Alors, la série est uniformément convergente sur et sa somme est dérivable sur et ."

La série converge simplement sur .

Il reste à montrer que la série converge uniformément sur tout intervalle , avec .

Soit , est positive sur , négative sur .

La suite ( ) tend en décroissant vers .

Un intervalle étant fixé, il existe un entier à partir duquel .

Nous considérons donc et on a alors : .

La série est une série de Riemann convergente, la série converge donc normalement sur .

D'après la forme locale du théorème de dérivabilité, la fonction est dérivable sur et .

Ainsi, la fonction est dérivable sur et .