Les fonctions sont dérivables sur  : .

De plus, est dérivable en , car , donc .

Les fonctions sont dérivables sur .

Soit , montrons que la série converge uniformément sur  : .

Or, la série de Bertrand converge pour tout lorsque .

On en déduit alors que la série converge.

On a majoré uniformément sur par le terme général d'une série convergente, la série converge donc uniformément sur .

Cette série converge donc uniformément sur tout intervalle (idem qu'en (6)).

La fonction est donc dérivable sur et l'on a ainsi :