Les fonctions sont dérivables sur : .

Pour établir la dérivabilité de sur , on peut essayer d'appliquer un théorème du cours.

Si on veut procéder directement sur , il nous faut disposer d'un résultat de convergence uniforme sur .

On cherche souvent à déduire la convergence uniforme d'un résultat de convergence normale.

Or, , la série diverge, donc la série des dérivées ne converge pas normalement sur .

On va donc se rabattre sur la version locale du théorème de dérivation, pour laquelle il suffit de disposer d'un résultat de convergence uniforme sur un intervalle de .

Sur .

La série est une série de Riemann convergente, la série converge donc normalement donc uniformément sur .

Les fonctions sont dérivables sur , la série converge simplement sur , la série converge uniformément sur tout intervalle de : la fonction somme est donc dérivable sur et

Ainsi, la fonction somme est donc dérivable sur et .

est donc dérivable sur et .