Soit ,

.

La série ne converge pas uniformément sur (elle ne converge pas pour ), ni même sur car s'il y avait convergence uniforme sur , chacun des termes ayant une limite lorsque tend vers , la série serait convergente en .

On ne dispose donc pas d'argument pour intervertir directement le signe somme et le symbole intégrale.

Soit  : la série géométrique converge uniformément sur , donc sur on peut intervertir le signe somme et le symbole intégrale :

Soit . Introduisons la fonction définie sur par : .

continue en , donc soit .

Il nous reste à démontrer que , ou encore .

C'est un problème d'interversion de limite et de signe somme. Cette interversion est possible si la série converge uniformément pour .

C'est une série alternée, la suite est une suite décroissante qui converge uniformément vers pour , puisque .

D'après le critère de convergence uniforme de certaines séries alternées, la série converge uniformément sur , on peut donc intervenir la limite et le signe somme.

D'où : .

Ainsi, si .