D'après le théorème de dérivation : .

On sait que la série complexe est convergente sur (en appliquant le critère de d'Alembert, ou en remarquant que d'après ce qui précède sa partie réelle et sa partie imaginaire sont convergentes).

Cette série est une série géométrique de premier terme et de raison .

Sa somme est donc : .

On en déduit que  ;

et .

On en déduit que : .

Vérifions que a bien l'expression annoncée.

Soit la fonction définie sur par ( est bien définie sur , car et si , car .

Si et sur , alors .

et  ; donc .

,

donc .

On a donc bien .

Ainsi, .