Séries de fonctions

\(\lambda_{0} > 1\), donc \(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} 1-\frac{1}{\lambda_{0}^{n}} = 1\).

On en déduit que \(u_{n} \left( 1 - \frac{1}{\lambda^{n}_{0}}\right) \sim u_{n}\).

Les deux séries sont à termes positifs, le théorème de comparaison par équivalence des termes généraux s'applique et la série \(\Big( \sum u_{n} \Big)\) est également convergente.

Pour tout \(\lambda > 1\), on a encore \(f_{n}(\lambda) \sim u_{n}\).

Le théorème de comparaison par équivalence des termes généraux pour des séries à termes positifs s'applique à nouveau, les deux séries sont de même nature, donc la série \(\Big( \sum f_{n}(\lambda) \Big)\) est simplement convergente sur \([1, +\infty[\).

Soit \(a > 1\).

Les fonctions \(f'_{n}\) sont dérivables sur \([1, +\infty[\) et \(f'_{n}(\lambda) = \frac{n}{\lambda^{n+1}}~.~u_{n}\).

Sur \([a, +\infty[\), \(|f'_{n}(\lambda)| \leq \frac{n}{a^{n+1}}~.~u_{n}\).

La série de terme général \(w_{n} = \frac{n}{a^{n+1}}\) est convergente d'après le critère de d'Alembert : \(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}}~\frac{w_{n+1}}{w_{n}} = \underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}}~\frac{n+1}{n~.~a} = \frac{1}{a} < 1\).

La série de terme général \(f'_{n}\) est donc normalement convergente sur \([a, +\infty[\).

Le théorème de dérivation s'applique :

• Les fonctions \(f_{n}\) sont dérivables sur \(]1, +\infty[\).

• \(\exists x_{0} \in ]1, +\infty[ \quad \Big( \sum f_{n}(x_{0}) \Big)\) converge. En effet la série converge même simplement sur \([1, +\infty[\).

• La série \(\Big( \sum~f'_{n}\Big)\) converge uniformément sur tous les fermés bornés de \(]1, +\infty[\). En effet, tout ensemble fermé borné de \(]1, +\infty[\) est inclus dans un intervalle du type \([a, +\infty[\) avec \(a > 1\) et la série converge normalement donc uniformément sur cet intervalle.

On en déduit que la série \(\Big( \sum~f_{n} \Big)\) converge uniformément sur \(]1, +\infty[\), vers une fonction \(S\) qui est dérivable sur cet intervalle et dont la dérivée est définie par : \(S'(\lambda) = \overset{+ \infty}{\underset{n = 0}{\sum}}~f'_{n}(\lambda)\)

ou encore : \(S'(\lambda) = \overset{+ \infty}{\underset{n = 0}{\sum}}~\frac{n}{\lambda^{n+1}}~u_{n}\)

\(S'(\lambda)\) est la somme d'une série à termes strictement positifs, donc \((\forall \lambda > 1) \quad S '(\lambda) > 0\).

La fonction \(S\) est donc une fonction strictement croissante sur \([1, +\infty[\).

La série \(\Big( \sum~u_{n} \Big)\) est d'après la question précédente uniformément convergente sur \(]1, +\infty[\). Elle est de plus convergente en \(1\), la convergence est donc uniforme sur \([1, +\infty[\).

De plus, \(\underset{\lambda \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}}~f_{n}(\lambda) = u_{n}\).

Le théorème d'interversion de limites s'applique puisque chacune des fonctions \(f_{n}\) admet une limite en \(+\infty\) et puisque la série est uniformément convergente sur \([1, +\infty[\) : on en déduit que la somme \(S\) de la série admet une limite en \(+\infty\) et \(\underset{\lambda \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}}~S(\lambda) = \overset{+\infty}{\underset{n=0}{\sum}}~u_{n}\).